English Translation
He gave us an essay to write during the vacation.
para should be por - otherwise it means “before the vacation”
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This is a reasonable use of para to describe a deadline. It doesn’t have to be an incredibly specific date. For example tenemos que comprar comida para la próxima semana could mean that we need to buy food for next week in general, we need to buy food before next week, or perhaps the proceeding sentence is la fiesta es el sábado which means we have until the end of next week to buy food.
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English Translation
He gave us an essay to write during the vacation.
This is incorrect. During = por.
You are right.
He gave us an essay to write during the vacation.
Nos mandó escribir una redacción para las vacaciones. 
Nos mandó escribir una redacción durante las vacaciones.
Nos mandó escribir una redacción por las vacaciones. 
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Por is for duration, para is for deadlines.
During = duration (During Definition & Meaning - Merriam-Webster)
“During our vacation” does not convey a deadline, and none of the definitions from Webster coincide.
Digging in to my dictionary, it says:
por
preposición
…
3 Indica el tiempo a lo largo del cual se produce un hecho o se realiza una acción: iré a verte por vacaciones; solo abren por las mañanas.
SINÓNIMO durante.
which is pretty clear. However,
para
preposición
…
6 Indica el término de un transcurso de tiempo; generalmente, se refiere a un tiempo futuro de forma imprecisa: pagará para Navidad; lo habré hecho para fin de mes; la fiesta estaba anunciada para ayer; déjalo para otro día.
7 Indica el período de tiempo durante el que se desarrolla una acción o se mantiene una situación: aún tengo para un rato; me lo ha prestado para una semana.
para can be used to indicate a deadline, or indicate a duration. 
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