Kaj li kaj mi estis membroj de tiu klubo.

English Translation

Both he and I were members of that club.

Shouldn’t this be ambaux li kaj mi?

English Translation

Both he and I were members of that club.

Kaj … kaj … is actually a standard construction (search “kombinitaj vortetoj”) in Esperanto, along with some others like aŭ … aŭ (either/or) and nek … nek … (neither/nor).