Der Doktor sagte mir, ich müsse aufhören zu rauchen.

Why does “aufhören” come where it does and not on the end of the sentence?

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Because that is what happens when you have “zu” in between two verbs:

Ich muss aufhören zu rauchen = I have to stop smoking

Ich werde anfangen zu reden = I will start talking

If you change the second verb to a noun, then you will see that “zu” disappears and the first verb will show up at the end as you expect:

Ich muss mit dem Rauchen aufhören.

Ich werde mit dem Reden anfangen.

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